凸関数の便利な性質

凸関数の便利な性質である以下の定理を証明しました．

$$\begin{align*} f \ \text{is convex if and only if} \ g(t) = f(tx + (1-t)y) \ \text{is convex} \end{align*}$$

$f$が凸関数であるための必要充分条件は上の$g(t)$が凸関数であることである．これは有用な性質であるように思われます．n変数関数を1変数関数で表現できてますからね． 事実Convex Optimizationでは，first-order conditionの証明にこれが出てきました． first-order conditionは最も重要な定理の一つだと考えていますので，これの証明に出て来るこの定理は有用に違いない！ ならば理解するしかない！というわけで証明を書いてみました． ちなみに初めて英語で書いたので，かなり怪しいですが．PDFで出してます．

• http://nktmemo.files.wordpress.com/2013/12/20131206_1_en.pdf

次はfirst-order condition の証明もしたいですね．というか誰かにチェックしてもらいたい．